Dá sa v zemskej atmosfére dosiahnuť voľným pádom rýchlosť zvuku?

Autor: Stanislav Marosz | 11.2.2007 o 19:28 | Karma článku: 11,21 | Prečítané:  10593x

Predstavte si, že letíte v lietadle vysoko nad zemou a vypadnete. Prirodzene, dosahujete vyššiu a vyššiu rýchlosť. Dokedy však budete zrýchľovať? Kedy vás zabrzdí odporová sila vzduchu? A od čoho táto sila závisí? A nakoniec, čo sa bude diať potom – akou rýchlosťou dopadnete na zem? Je reálne, že by ste dopadli na zem, a váš krik by ľudia okolo počuli až po vašej smrti?

Zaujímavá otázka. Položili mi ju moji kolegovia pri káve a zaujalo ma to, tak som sa pozrel na tento problem zbližšia. Rozhodol som sa urobiť jednoduchý počítačový model tejto úlohy v Ecxceli. Tu je model na stiahnutie.

A tu je fyzikálna úvaha, z ktorej som pri modelovaní vychádzal.

Ako pri každom modeli nejakého reálneho problému, na začiatku si musíme stanoviť nejaké predpoklady. Východiskové zjednodušenia, ktoré som si dovolil urobiť, sú tieto tieto tri:

1. Gravitačné zrýchlenie budeme považovať za konštantné v akejkoľvek výške nad povrchom zeme.

Toto zjednodušenie nie je až taký veľký hriech, pretože gravitačné zrýchlenie sa nad povrchom zeme mení približne o 0,003 % na 100 m výšky. Vo výške 100 km nad povrchom Zeme je teda gravitačné zrýchlenie približne 9.5 m.s-2. V našom modeli tento úbytok môžeme zanedbať. Môžeme sa dohodnúť, že z vyšších výšok hádzať nebudeme.

2. Teplotu atmosféry považujeme konštantnú v každej výške nad zemou.

Teplotu atmosféry potrebujeme pri výpočte hustoty vzduchu v určenej nadmorskej výške a na výpočet rýchlosti zvuku. Predpoklad konštantnej teploty takisto nepredstavuje až takú výraznú chybu, pretože rozdiel teplôt medzi povrchom zeme a výškou 10 km nad zemou je obvykle približne 50°C, čo v našom prípade takisto nepredstavuje výrazný rozdiel pri výpočtoch.

3. Rýchlosť zvuku je konštantná v každej výške pri zvolenej teplote prostredia.

Samozrejme, predpokladáme aj úplné bezvetrie, aby nám teleso padalo pekne rovno na zem a neunášali ho nejaké bočné vetry alebo víry.

Teleso, ktoré budeme púšťať na zem, môže mať rôzny tvar. Veľkosť odporovej sily vzduchu od tvaru telesa závisí. Tvar telesa reprezentuje tvarový koeficient – bezrozmerná konštanta, ktorá je tým menšia, čím má teleso „aerodynamickejší“ tvar. Napríklad, kužeľ s uhlom 30° pri vrchole, ktorý vzduch dobre rozráža, má odporový koeficient 0,34, ale napríklad štvorcová doska má tento koeficient 1,11. Chevrolet Corvette má koeficient odporu 6,57. V excelovskom modeli si môžeme vybrať z ôsmich rôznych tvarov a na základe zvoleného tvaru telesa sa na výpočet odporovej sily použije príslušný koeficient a vypočíta sa príslušná priečna plocha telesa.

Rozoberme si najskôr prvý prípad, teda hustotu atmosféry budeme považovať za rovnakú v každej výške nad zemou.

Na začiatku fyzikálneho rozboru pohybu telesa si musíme uvedomiť, aké sily pôsobia na naše teleso. V smere nadol ho k sebe priťahuje zem svojou tiažovou silou, ktorá je daná súčinom hmotnosti telesa a gravitačného zrýchlenia:

F = m.g.

Keď teleso pustíme na zem zo zvolenej výšky, zo začiatku bude padať voľným pádom, čo znamená, že sa bude pohybovať s gravitačným zrýchlením g. Proti smeru pohybu telesa pôsobí odporová sila vzduchu, ktorá teleso brzdí. Od čoho všetkého závisí veľkosť odporovej sily vzduchu? V prvom rade od rýchlosti telesa, potom od hustoty vzduchu, od tvarového koeficientu a od priečnej plochy telesa (plochy kolmej na smer letu). Postupne, ako teleso naberá rýchlosť, zväčšuje sa aj odporová sila. Matematický zápis odporovej sily ste sa učili v prvom ročníku na strednej škole – vyzerá takto:

F = (1/2).ρ.C.S.v2.

V tomto zápise ρ predstavuje hustotu prostredia, S priečnu plochu telesa, C tvarový odporový koeficient a v rýchlosť.

Keďže odpor vzduchu teleso brzdí, po istom čase od vypustenia už nebude padať voľným pádom. Bude sa síce pohybovať stále zrýchleným pohybom, ale nie s konštantným zrýchlením g, ale so zrýchlením, ktoré sa s časom zmenšuje. Výsledné zrýchlenie telesa gvýs je teda časovo premenná veličina a môžeme ju napísať ako

gvýs = g - aO ,

kde aO predstavuje spomalenie (odporové zrýchlenie) telesa spôsobené odporom vzduchu. Toto zrýchlenie je časovo premenné (zvykne sa to písať ako aO(t), čo znamená že a je funkcia času), pretože veľkosť spomalenia sa mení s narastajúcu odporovou silou, ktorá závisí od rýchlosti, a rýchlosť pri zrýchlenom pohybe, ako vieme, s časom narastá.

Odporová sila však nebude narastať donekonečna. Keď sa odporová sila vzduchu vyrovná tiažovej sile F=m.g, teleso prestane zrýchľovať a bude sa ďalej pohybovať rovnomerným priamočiarym pohybom, až kým necapne na zem.

Ako vypočítame veľkosť spomalenia – odporového zrýchlenia aO ? Použijeme Newtonovu rovnicu pre silu a odporovú silu napíšeme ako

FO = m.aO .

Za silu do tejto rovnice, prirodzene, dosadíme vzťah pre odporovú silu a dostaneme rovnicu

(1/2).ρ.C.S.v2 = m.aO .

Aby sme mohli správne namodelovať pohyb telesa v každej sekunde po vypustení, musíme z tejto rovnice vyjadriť spomalenie a.

Na ľavej strane rovnice máme rýchlosť. Vieme však, že rýchlosť telesa v nejakom určitom čase závisí od jeho zrýchlenia v tomto čase podľa vzťahu

v = a.t .

Tu si však musíme dať pozor, pretože uvedený vzťah platí len pre rovnomerne zrýchlený pohyb (pohyb s konštantným zrýchlením). Ak sa zrýchlenie v čase mení, rýchlosť sa musí vypočítať ako integrál z funkcie zrýchlenia. Avšak princíp numerického modelovania, ktoré ideme použiť, je ten, že časový priebeh zrýchlenia „rozbijeme“ na také malé úseky, že na týchto úsekoch budeme považovať zrýchlenie za konštantu. To znamená, že môžeme použiť vzťah v = a.t.

Za zrýchlenie do tohto vzťahu dosadíme výsledné zrýchlenie telesa gvýs, teda

v = gvýs.t = (g - aO).t .

Rovnica, z ktorej chceme vyjadriť odporové zrýchlenie, potom prejde do tvaru

(1/2).ρ.C.S.(g - a)2 = m.aO .

Na tejto úrovni končí fyzikálna úvaha a prichádza na rad matematika. Potrebujeme vyjadriť z rovnice aO, ktoré vystupuje na ľavej strane v druhej mocnine a na pravej strane v prvej mocnine. Musíme teda vyriešiť kvadratickú rovnicu. Nebudem riešiť celú rovnicu, napíšem priamo výsledok, ktorý z nej dostaneme:

a(t) = g + (m/ρ.C.S.t2) ± √{[2g + (2m/ρ.C.S.t2)]2 - 4g2}

Pretože vo výsledku je plus mínus, môžeme dostať dve riešenia (dva reálne korene kvadratickej rovnice). Fyzikálny význam má pre náš prípad tá so znamienkom mínus, teda výsledný vzťah pre zrýchlenie, ktorý použijeme v modeli je

a(t) = g + (m/ρ.C.S.t2) - √{[2g + (2m/ρ.C.S.t2)]2 - 4g2}

Ostáva nám už len podosádzať do vzťahu všetky konštanty a môžeme vypočítať spomalenie v akomkoľvek čase t po vypustení telesa. Keď toto spomalenie odčítame od gravitačného zrýchlenia, vyjde nám zrýchlenie telesa v danom čase. Zo zrýchlenia vieme pre daný čas vypočítať rýchlosť, a z rýchlosti zase dráhu, ktorú teleso urazí v nami zvolenom malom časovom intervale, na ktorom sa dohodneme, že budeme považovať zrýchlenie za konštantu. V excelovskom modeli som zvolil časový interval jednu sekundu.

Môžeme si teda veselo zvoliť počiatočné podmienky a pozrieť sa, ako bude vyzerať pohyb telesa. Tak napríklad, ak vypadne človek s hmotnosťou 101 kg z výšky 10 km nad zemou, zrýchlenie sa bude meniť takto:

Graf1.JPG

Z grafu vidíme, že zrýchlenie sa postupne zmenšuje. Po približne 80 sekundách pádu klesne takmer na nulu, čo znamená, že už skoro vôbec nezrýchľuje, ale padá približne konštantnou rýchlosťou. Po 102. sekunde dopadne na zem s rýchlosťou asi 129 m/s (okolo 465 km/h). Z nasledujúceho grafu vyčítame, že aj keď je táto rýchlosť dosť veľká (okolo 465 km/h), na prekonanie rýchlosti zvuku to zďaleka nestačí.

Graf2.JPG

V ďalšom grafe vidíme, ako narastá odporová sila vzduchu s narastajúcou rýchlosťou telesa. Pri rýchlosti okolo 120 m/s sa teda obe sily zhruba vyrovnajú, preto sa už spomalenie viac neuplatňuje.

Graf3.JPG

V excelovskom modeli nájdeme ešte grafy iných závislostí, napríklad rýchlosti od výšky nad zemou (môžeme na ňom vidieť, akú rýchlosť bude mať teleso pri dopade na zem), graf odporovej sily od výšky nad zemou (môžeme z neho vyčítať, ako sa uplatňuje odporová sila pri istej výške nad zemou), alebo graf dráhy od času, ktorý ukazuje, ako sa mení priebeh dráhy – najskôr je priebeh kvadratický (krivá čiara), neskôr, keď zrýchlenie klesá, sa zmení na lineárny (rovná čiara).

Graf4.JPG
Graf5.JPG
Graf6.JPG

V modeli si môžeme meniť vstupné parametre, a uvidíme, pri akom telese a akej počiatočnej výške by sme rýchlosť zvuku pri dopade dosiahli. Tak napríklad, ak by sme namiesto človeka zhodili olovenú guľu z výšky 20 km, na zem by dopadla rýchlosťou takmer 350 m/s (1257 km/h). Šupa, však? Vyskúšajte si sami rôzne iné kombinácie telies, tvaru a výšky.

Dobre teda. Máme model pre prípad, keď je hustota atmosféry všade rovnaká (v excelovskom modeli sú tieto grafy v záložke „Konštantná hustota“). Ako však dobre vieme, čím sme vo vyššej nadmorskej výške, tým je vzduch „redší“. Vzťah, podľa ktorého sa hustota atmosféry mení s výškou nad zemou, našiel pán Boltzmann, preto sa tento vzťah volá Boltzmannov barometrický zákon a vyzerá takto:

ρ(h) = ρ0.exp(-mgh/kT)

kde ρ(h) je hustota atmosféry vo výške h nad zemou, ρ0 je hustota atmosféry pri hladine mora, a veličiny v zlomku v exponente Eulerovho čísla sú m – hmotnosť jednej molekuly vzduchu, g – gravitačné zrýchlenie, h – nadmorská výška, k – Boltzmannova konštanta a T je teplota okolitej atmosféry v Kelvinoch. Keď si nakreslíme graf tejto funkcie, vidíme, že hustota klesá s nadmorskou výškou exponenciálne (teda veľmi výrazne).

Graf7.JPG

Úloha sa trochu komplikuje, pretože do vzťahu pre spomalenie aO vstupuje hustota. V prvom prípade sme ju mohli dosadiť v každej výške nad zemou rovnakú. V tomto prípade (ktorý je bližší realite) ju musíme prepočítať nanovo pre každú výšku, v ktorej sa teleso nachádza. Ako to urobiť?

Opäť to urobíme tak, že pohyb telesa „rozbijeme“ na drobné časové kúsky po jednej sekunde. Budeme pritom predpokladať, že pre dráhu, ktorú teleso počas jednej sekundy prejde, môžeme považovať hustotu za konštantu. Prepočítame ju potom nanovo pre novú výšku, v ktorej sa teleso nachádza v ďalšej sekunde.

Výsledkom sú grafy, ktoré sa v excelovskom modeli nachádzajú v záložke „Premenná hustota“. Pre prípad človeka, ktorý vypadne z výšky 10 km nad zemou budú grafy vyzerať takto:

Graf8.JPG
Graf10.JPG
Graf11.JPG
Graf12.JPG
Graf13.JPG

Z grafov vidíme, že teleso sa pohybuje trochu dlhšie voľným pádom, pretože zrýchlenie telesa klesá pomalšie, ako v prvom prípade. Je to tým, že vo väčšej výške, kde je atmosféra redšia, sa odpor vzduchu uplatňuje menej, a odporová sila narastá pomalšie.

V modeli si môžete zvoliť napríklad guľu zo zlata s priemerom 1m, ktorú keď zhodíme z výšky približne Mt. Everestu, tak na zem dopadne po 46 sekundách a pri dopade dosiahne rýchlosť približne 342 m/s (1233 km/h), čo je rýchlosť zvuku prekonaná o 125 m/s (450 km/h).

Graf14.JPG

Odporová sila počas celej doby pádu nedosiahne ani polovicu tiažovej sily, teda zrýchlenie, s ktorým guľa padá, neklesne ani o polovicu, ako vidno z nasledujúcich grafov.

Graf15.JPG
Graf16.JPG
A aký je záver? Rýchlosť zvuku sa v zemskej atmosfére aj pri odpore vzduchu prekonať dá. Akurát na to potrebujeme teleso, ktoré má dostatočne veľkú hmotnosť, vhodný tvar a musíme ho pustiť z dostatočne veľkej výšky.
Nech sa páči, stiahnite si excelovský model a pohrajte sa:
(Sorry za výzor tej stránky :-))

Nakoniec by som sa chcel poďakovať kolegom Števovi a Peťovi za inšpiratívny námet na rozmýšľanie a Dušankovi za diskusiu a pomoc pri problémoch s iteráciou.

Páčil sa Vám tento článok? Pridajte si blogera medzi obľúbených a my Vám pošleme email keď napíše ďalší článok
Pridaj k obľúbeným

Hlavné správy

Stĺpček Zuzany Kepplovej

České Salisbury osvecuje slovenský Sputnik

Vybrať sa s nákupným vozíkom do Ruska, akoby nebolo žiadne včera ani zajtra, sa nedá.


Už ste čítali?